九年级数学下册 1.1 锐角三角函数教案1 (新版)北师大版

第一篇：九年级数学下册 1.1 锐角三角函数教案1 (新版)北师大版

       第一章 直角三角形的边角关系

       1.1.1锐角三角函数

       （一）【教学内容】锐角三角函数

       （一）【教学目标】

       知识与技能 理解锐角三角函数中正切函数的定义，运用正切值的大小比较生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算

       过程与方法 经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系.情感、态度与价值观

       从实践中引导学生学会观察、思考，探索发现客观事物中存在的数学规律。【教学重难点】

       重点：探索直角三角形的边角关系.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，难点：理解正切函数的意义，领会直角三角形边角关系的实质.【导学过程】 【情景导入】

       一、学会观察，学会发现:

       1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？

       2、生活问题数学化：

       ⑴如图：梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？

       ⑵以下三组中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？

       【新知探究】

       探究

       一、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题）⑴Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系? ⑵B1C1B2C2有什么关系？ 和AC1AC2⑶如果改变B2在梯子上的位置(如图)，在每个直角三角形中，∠A的对边和邻边比值会变吗？ ⑷由此你得出什么结论? 根据相似三角形对应边的比相等，上述每两组线段的比值是一定的。实际上，决定比值大小的量不是它们边的长短，而是∠A度数的大小。即如果锐角A度数确定，那么∠A的对边与邻边的比也随之唯一确定，这符合函数的定义，因此我们把锐角A度数叫做自变量，它的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA.。即tanA=∠A的对边／∠A的邻边

       根据函数的定义，当∠A变化时，tanA.也随之变化。探究

       二、例题：

       例

       1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?

       归纳：当锐角的正切值较大时，坡度也较大。探究

       三、例

       2、在△ABC中，∠C=90°，BC=15cm，AB=25cm，求tanA和tanB的值.…….归纳：求正切值一定要在直角三角形中进行，并且一定要分清锐角的对边与邻边。【知识梳理】本节课我们学习了哪些知识？你明白了什么道理？

       【随堂练习】

       1、如图，△ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC吗?

       2、如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度.(结果精确到0.001)

       3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.4、如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号)

       5、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tanθ＝______.6、如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于E,EC=1,tanB=边形AECD的周长.7、已知:如图,斜坡AB的倾斜角a,且tanα=

       5, 求菱形的边长和四12ADB3,现有一小球从坡底A处以20cm/s 4EC的速度向坡顶B处移动,则小球以多大的速度向上升高?

       BAC

第二篇：九年级数学下册 28.1 锐角三角函数—余弦和正切教案 新人教版

       锐角三角函数-余弦和正切

       一、教学目标

       1、使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实．

       2、逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力．

       二、教学重点、难点

       重点：理解余弦、正切的概念

       难点：熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算

       三、教学过程

       （一）复习引入

       1、口述正弦的定义

       2、（1）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AB＝5，BC＝3．则sin∠BAC= ；sin∠ADC= ．

       （2）﹙2022成都﹚如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。已知AC=5，BC=2，那么sin∠ACD＝（）A． B． C． D．

       （二）实践探索

       一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？

       o如图：Rt△ABC与Rt△A`B`C`，∠C=∠C` =90，∠B=∠B`=α，那么与有什么关系？

       o分析：由于∠C=∠C` =90，∠B=∠B`=α，所以Rt△ABC∽Rt△A`B`C`，即

       结论：在直角三角形中，当锐角B的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠B的邻边与斜边的比也是一个固定值。

       o如图，在Rt△ABC中，∠C=90，把锐角B的邻边与斜边的比叫做∠B的余弦，记作cosB即 把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切.记作tanA,即

       锐角A的正弦,余弦,正切都叫做∠A的锐角三角函数.（三）教学互动

       例2:如图,在中, ,BC=6,求cos和tan的值.解:, 又

       例3:(1)如图(1), 在中，, , ,求的度数.(2)如图(2),已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍,求.（四）巩固再现

       1.在中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则有（）A．．．．

       2.在中，∠C＝90°，如果那么的值为（）A．．．．

       3、如图：P是∠的边OA上一点，且P 点的坐标为（3，4），则cos＝_____________.4、P81 练习1、2、3

       四、布置作业 P85 1 教后反思：

第三篇：1.1锐角三角函数教学设计

       1.1锐角三角函数(1)教学设计

       一、教学内容分析

       本节课是三角函数的起始课，是在学生学习了正比例函数、一次函数、反比例函数以及二次函数后已对函数有了一定的理解的基础上来学习，但是三角函数与以前学习过的函数有着较在区别，函数值随角度变化而变化，函数值是关于角度的函数与所在三角形无关很难理解，课本把它放在直角三角形中来进行定义及进行简单计算，可以降低难度，学生能更好地理解学习，本课时主要内容是三角函数的概念及进行简单的计算应用，而其中三角函数的概念应是本节课的难点。

       二、学习类型与任务分析

       （一）学习类型

       1、学习结果

       （1）三角函数的概念是数学概念

       （2）在直角三角形中函数值恰好等于边长之比是数学原理（3）利用利用三角函数的定义进行简单计算是数学技能，数形结合思想是数学思想方法。

       （4）利用各种方法进行因式分解，因式分解的应用是数学问题解决。（5）通过让学生体验三角函数来源于生活；通过构造直角三角形来计算锐角三角函数值的过程是数学认识策略。

       2、学习形式

       锐角三角函数（1）是三角函数的起始课，属上位学习；三角函数的概念形成很抽象，宜通过实例、生活情境入手引入，让学生从实例中探究，体验概念的形成过程，宜采用探究与合作相结合的启发式教与学。

       （二）学生的起点能力

       1．函数概念，一些特殊简单函数及其性质的学习。2．线段比例及相似三角形（图形）的学习。

       三、教学目标 知识技能目标：了解三角函数的概念，学会在直角三角形中进行一些简单的计算。

       过程方法目标：

       （1）通过体验三角函数概念的形成过程增进学生的数学经验（2）渗透数形结合的数学思想方法。

       （3）培养学生主动探索，敢于实践，勇于发现，合作交流的精神。情感态度目标

       （1）让学生感受数学来源于生活又应用于生活，体验数学的生活化经历。

       （2）通过实际问题情境的经历探究性的学习培养学生学习数学的兴趣，培养学生热爱数学、热爱生活的情感。

       四、教学重、难点

       重点：锐角三角函数的概念及其简单的计算 难点：三角函数概念的形成

       五、教学流程 教师活动；

       （一）实例引入，问题提出：

       生活中处处有数学，数学就在我们身边，每次新知识的学习都与生活问题的解决相关，下面我们说说生活中的又一例：

       生活中有很多的“陡峭”与“平坦”的问题，如我们常见的各色梯子、商场里的电动扶梯、大城市里的过街天桥等，在生活中我们经常讲这个坡太“陡”那个坡比较“平”，那么，我们又是用哪些量来衡量“陡”与“平”的呢？（幻灯片1）

       上图是我们把天桥改“平”的示意图，我们这次次改造过程中有哪些量保持不变，哪些量发生了变化？它们的变化有联系吗？（幻灯片2和3）

       如果进行上图的另两种改法呢？ 由此看来坡改“平”之中这些改变的量之间到底有何必然联系有待我们去探索。（幻灯片4）

       （二）探究合作学习，形成新知：

       下面让我们来做一做，作一个30°的角,在角的边上任意取一点B,作BC⊥AC于C,计算比 的值,与同伴的结果进行比较。

       再作一个50°的角进行上述操作，对结果进行比较（幻灯片5）通过两种比较，你有什么发现？能说明理由吗？那么这种特性是否对任意锐角都存在呢？你能说明吗？

       生思考，交流：

       1.高度没变；坡的长度、水平距离、坡与地面的夹角在变化，前两者变大；

       2.角度变小，坡变“平”了，角度的变化一定与三种线段长度的变化有联系。

       （三）新知巩固，练习提高： 学生作图，通过相似三角形来说明

       通过动手操作，探究培养学生探究能力，也能让学生体验三角函数的概念的形成过程，增加数学经验。

       （四）小结与反思

       一个相关：锐角函数值只与角度数有关 二种写法：是否带“∠”符号

       二种计算：直接用直角三角形计算、构造直角三角形求解 三种函数：正弦、余弦、正切

       （五）作业布置：见作业本（1）

       （六）课后反思：

第四篇：北师大版九年级数学中考复习：利用锐角三角函数测高

       锐角三角函数：解直角三角形的应用

       一．解直角三角形的应用（共9小题）

       3．如图，要测量一条河两岸相对的两点A，B之间的距离，我们可以在岸边取点C和D，使点B，C，D共线且直线BD与AB垂直，测得∠ACB＝56.3°，∠ADB＝45°，CD＝10m，则AB的长约为（）

       （参考数据sin56.3°≈0.8，cos56.3°≈0.6，tan56.3°≈1.5，sin45°≈0.7，cos45°≈0.7，tan45°＝1）

       A．15m

       B．30m

       C．35m

       D．40m

       4．如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的夹角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF∥BE，AC⊥BE，FD⊥BE．若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（）

       （参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）

       A．2.6m

       B．2.8m

       C．3.4m

       D．4.5m

       5．如图所示的是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平线AE垂直，AB＝154cm，∠A＝30°，另一根辅助支架DE＝78cm，∠E＝60°．

       （1）求CD的长度．（结果保留根号）

       （2）求OD的长度．（结果保留一位小数．参考数据：≈1.414，≈1.732）

       6．图1是某种路灯的实物图片，图2是该路灯的平面示意图，MN为立柱的一部分，灯臂AC，支架BC与立柱MN分别交于A，B两点，灯臂AC与支架BC交于点C，已知∠MAC＝60°，∠ACB＝15°，AC＝40cm，求支架BC的长．（结果精确到1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）

       7．襄阳东站的建成运营标志着我市正式进入高铁时代，郑万高速铁路襄阳至万州段的建设也正在推进中．如图，工程队拟沿AC方向开山修路，为加快施工进度，需在小山的另一边点E处同时施工．要使A、C、E三点在一条直线上，工程队从AC上的一点B取∠ABD＝140°，BD＝560米，∠D＝50°．那么点E与点D间的距离是多少米？

       （参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

       8．天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次检修维护中，检修人员从索道A处开始，沿A﹣B﹣C路线对索道进行检修维护．如图：已知AB＝500米，BC＝800米，AB与水平线AA1的夹角是30°，BC与水平线BB1的夹角是60°．求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度CA1是多少米？（结果精确到1米，参考数据：≈1.732）

       9．某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下：

       问题提出：

       如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．

       方案设计：

       如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳蓬CD．

       数据收集：

       通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线DA与遮阳蓬CD的夹角∠ADC最大（∠ADC＝77.44°）；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线DB与遮阳蓬CD的夹角∠BDC最小（∠BDC＝30.56°）．窗户的高度AB＝2m．

       问题解决：

       根据上述方案及数据，求遮阳蓬CD的长．

       （结果精确到0.1m，参考数据：sin30.56°≈0.51，cos30.56°≈0.86，tan30.56°≈0.59，sin77.44°≈0.98，cos77.44°≈0.22，tan77.44°≈4.49）

       10．如图，同学们利用所学知识去测量三江源某河段某处的宽度．小宇同学在A处观测对岸点C，测得∠CAD＝45°，小英同学在距点A处60米远的B点测得∠CBD＝30°，请根据这些数据算出河宽（精确到0.01米，≈1.414，≈1.732）．

       11．如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为90m，楼间距为AB．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为32.3°，1号楼在2号楼墙面上的影高为CA；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为55.7°，1号楼在2号楼墙面上的影高为DA．已知CD＝42m．

       （1）求楼间距AB；

       （2）若2号楼共30层，层高均为3m，则点C位于第几层？（参考数据：sin32.3°≈0.53，cos32.3°≈0.85，tan32.3°≈0.63，sin55.7°≈0.83，cos55.7°≈0.56，tan55.7°≈1.47）

       二．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共5小题）

       12．如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC＝3米，坡顶有旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB＝10米，则旗杆BC的高度为（）

       A．5米

       B．6米

       C．8米

       D．（3 ）米

       13．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB的坡度i＝1：1.5，则坝底AD的长度为（）

       A．26米

       B．28米

       C．30米

       D．46米

       14．如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长26m，斜坡AB的坡比为12：5．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移

       m时，才能确保山体不滑坡．（取tan50°≈1.2）

       15．如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）．

       （1）求灯杆CD的高度；

       （2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：＝1.73．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

       16．如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB＝800米，BC＝200米，坡角∠BAF＝30°，∠CBE＝45°．

       （1）求AB段山坡的高度EF；

       （2）求山峰的高度CF．（1.414，CF结果精确到米）

       三．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共5小题）

       17．如图，数学活动小组利用测角仪和皮尺测量学校旗杆的高度，在点D处测得旗杆顶端A的仰角∠ADE为55°，测角仪CD的高度为1米，其底端C与旗杆底端B之间的距离为6米，设旗杆AB的高度为x米，则下列关系式正确的是（）

       A．tan55°＝

       B．tan55°＝

       C．sin55°＝

       D．cos55°＝

       18．如图，小明想要测量学校操场上旗杆AB的高度，他作了如下操作：

       （1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角∠ACE＝α；

       （2）量得测角仪的高度CD＝a；

       （3）量得测角仪到旗杆的水平距离DB＝b．

       利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）

       A．a btanα

       B．a bsinα

       C．a

       D．a

       19．如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（）

       A．（1.5 150tanα）米

       B．（1.5 ）米

       C．（1.5 150sinα）米

       D．（1.5 ）米

       20．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（）

       A．800sinα米

       B．800tanα米

       C．米

       D．米

       21．如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为（）

       A．米

       B．30sinα米

       C．30tanα米

       D．30cosα米

       四．解直角三角形的应用-方向角问题（共4小题）

       22．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔

       C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（）

       A．30nmile

       B．60nmile

       C．120nmile

       D．（30 30）nmile

       23．如图，海面上产生了一股强台风．台风中心A在某沿海城市B的正西方向，小岛C位于城市B北偏东29°方向上，台风中心沿北偏东60°方向向小岛C移动，此时台合风中心距离小岛200海里．

       （1）过点B作BP⊥AC于点P，求∠PBC的度数；

       （2）据监测，在距离台风中心50海里范围内均会受到台风影响（假设台风在移动过程中风力保持不变）．问：在台风移动过程中，沿海城市B是否会受到台风影响？请说明理由．（参考数：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，≈1.73）

       24．如图，一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行，在A处测得小岛P位于其西北方向（北偏西45°方向），2小时后轮船到达B处，在B处测得小岛P位于其北偏东60°方向．求此时船与小岛P的距离（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）．

       25．黔东南州某校吴老师组织九（1）班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A得仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝4m，请你根据这些数据求电线杆的高（AB）．

       （结果精确到1m，参考数据：≈1.4，≈1.7）

第五篇：锐角三角函数学案1

       九年级数学（上）教案

       25.2 锐角三角函数（1）

       设计时间：

       授课时间：

       课型：

       授课人： 教学目标：（目标明确，行动才更有效！）1.正弦、余弦、正切、余切的定义。2.正弦、余弦、正切、余切的应用。课前热身：（准备一下，你会更出色！）1.两个三角形相似的条件。

       2.在两个直角三角形中，如果有一个锐角对应相等，那么这两个三角形 ；并简要说明理由。

       课堂探究：（我自信，我参与！）

       一、自主学习：（试一试自己的学习本领有多强）聚焦目标一：

       1.阅读教材P74思考，并填空。

       如果改变∠A的大小，∠A的对边与邻边的比值会改变吗？

       2.阅读教材P74“我们知道„„”这一段。

       若一个锐角的大小不变，那么该锐角的对边与斜边、邻边与斜边的比值是否也是定值？

       3.阅读教材P74“因此„„”到“统称为∠A的三角函数”这一段。锐角三角函数是研究 三角形的 关系的。

       4.sinA＝

       A的对边A的邻边，cosA＝，斜边斜边 图25.2.1

       tanA＝A的对边A的邻边，cotA＝．

       A的邻边A的对边思考：（1）0＜sinA＜1，0＜cosA＜1．

       （2）sin2Acos2A＝1，tanA·cotA＝1．为什么？ 聚焦目标二： 1.阅读教材P75例1。

       2.求出如图所示的Rt△DEC（∠E＝90゜）中∠D的四个三角函数值.二、合作研讨：（交流也是一种非常好的学习方法，交流过程中你一定会有所感悟，大胆提出你的问题吧！）

       三、展示讲解：（用流利的语言和创新的思维来展示你们小组的风采！）

       四、知识归纳： 巩固提升：

       必做题:（试一试，你一定行！）

       1.如图，在Rt△MNP中，∠N＝90゜.∠P的对边是__________,∠P的邻边是_______________;

       ∠M的对边是__________,∠M的邻边是_______________;2.设Rt△ABC中，∠C＝90゜，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，根据下列所给条件求∠B的四个三角函数值.（1）a=3,b=4;

       （2）a=6,c=10.选做题：

       在Rt△ABC中，∠C＝90゜，若已知tanA=

       板书设计：

       25.2

       sinA＝

       3,求∠A的其他三个三角函数值。4锐角三角函数（1）

       A的对边A的邻边22，cosA＝，sinAcosA＝1，斜边斜边

       tanA＝A的对边A的邻边，cotA＝ tanA·cotA＝1

       A的邻边A的对边导学反思：