数学中常用极限方法总结

第一篇：数学中常用极限方法总结

       【1】 忽略高阶无穷小方法。

       很多极限看起来很复杂，而且也不好使用洛必达法则，但是如果忽略掉次要部分，则会很容易计算。

       比如

       再比如斐波那契数列，忽略掉比x低的无穷小项后为√x / √2x = 1/√2

       忽略掉[(1-√5)/2]^n的次要项后，可以求得lim a(n 1)/a(n)=(1 √5)/2

       再比如 lim(x->∞)(sinh(x) sinx)/(2Cosh(x)-3Cos(x))当x->∞的时候sinx和cosx是sinh(x)和cosh(x)的高阶无穷小 所以lim(x->∞)(sinh(x) sinx)/(2Cosh(x)-3Cos(x))= lim(x->∞)sinh(x)/2Cosh(x)

       = lim(x->∞)(e^x-e^(-x))/ 2(e^x e^(-x))= lim(x->∞)e^x / 2e^x =1

       【2】 取对数与洛必达法则

       洛必达法则是求极限的时候用的最多的方法，但是很多题目都会饶下弯子，需要先对代数式进行一些变形，否则计算起来会越来越烦，常见的的代换包括取对数，等价无穷小代换，省略高阶无穷小部分，在用完这些方法后，再使用洛必达法则，可以有效的解决这类问题。

       比如

       这个直接用等价无穷小代换后会因为损失了高阶无穷小导致结果不正确，取对数后就会化成容易计算的形式了 lim(x->∞)x^2*ln(1 1/x)1)/ 2t =-1/2 所以原式极限为e^(-1/2)

       再比如 tanx ^(1/lnx)在x->0 的时候的极限 这个极限是0^∞的形式

       直接取对数得 ln(tanx)/ lnx，现在是∞/∞的形式

       用洛必达法则得 = x /(sinx cosx)= x/sinx * 1/cosx = 1 所以tanx^(1/lnx)在x->0 的时候的极限为e

       【3】 常用等价无穷小

       经常用到的等价无穷小有

       (1)tanx ~ sinx ~ acrsinx ~ arctanx ~ sinh(x)~ acsinh(x)~ x(x->0)(2)1-cosx ~ x^2/2(x->0)(3)e^x1 ~ ax(x->0)(6)esinx)/ x^3在x->0处的极限，这个可以使用多次洛必达求得，或提取sinx后用两个等价无穷小代换，也可以用tanx和sinx的级数代入求得 =(x x^3/3 O(x^4)(13 x^7)/210 O(x^9)sin(tan(sin(tan(x))))在x=0处的幂级数展开为x x^3/3 x^5/302)/ x^2在 x->0处的极限 用泰勒公式就比较简单

       √(1 x)~ 1 x/2x/2x^2/4(e x)/2 (11 e x^2)/24 O(x^3)(1 1/x)^x在x=0处的级数展开为1-x lnx (1 (lnx)^2)x^2 O(x^3)

       【6】 中值定理

       有些极限用常见的方法处理比较困难，但是可以很容易的看出这是某个函数在两个很近的点处的割线的斜率或两个点之间的面积，那么这个时候可以考虑使用微分中值定理或积分中值定理。

       比如求sin(√(x 1)sin√x)/(√(x 1)-√x)所以lim(sin(√(x 1)arctan a/(x 1))在x->∞处的极限

       令f(x)= arctan a/x那么存在x< ξ

       由于x^2/(a^2 (x 1)^2)< x^2/(a^2 ξ^2)< x^2 /(a^2 x^2)，取极限得1 <= lim x^2/(1 ξ^2)<= 1 所以原式极限是a

       再比如求(Pi/2arctanx = ∫ 1/(1 t^2)dt(积分限为[x,∞])所以存在x<ξ<∞使得 ξ/(1 ξ^2)= Pi/2(n-1)^(k 1)] =n^k / [ n^(k 1)C(k 1,2)n^(k-1) ....] =n^k / [C(k 1,1)n^kln(n!) n ln(n))/(n 1-n)=lim [ ln(n 1)ln(n 1) n ln(n)] =lim n * ln(n/(n 1))=-1

       【8】 利用定积分的数值公式

       有些求和的极限用夹挤定理只能得到级数收敛，但不能求出具体的极限值，而一些题刚好是利用定积分的数值公式（主要是矩形公式）分解而来，这个时候可以考虑凑定积分的方式来对级数求和。

       比如求

       可以写成1/n ∑1/(1 (k/n)^2)

       所以这个刚好是1/(1 x^2)在[0,1]上的定积分 所以极限为Pi/4

       再如上面出现过的(1^k 2^k ... n^k)/ n^(k 1)这个可以写成1/n ∑(i/n)^k

       所以可以看成是 x^k在[0,1]上的定积分 所以极限是1/(k 1)

       【9】 利用级数展开

       某些涉及到求和的极限可能刚好是某个函数的级数展开的特殊值 比如交错级数 1-1/2 1/3-1/4 ...这个刚好是ln(1 x)= xx^4/4 ...在x=1处的值 所以极限是ln2 而对于其他一些级数也可能是函数展开的特殊值 比如1 1/2^2 1/3^2 1/4^ 1/n^2 ...考虑正弦函数的无穷积展开为 sinx = x ∏(1-x^2/k^2Pi^2)取对数后求导数得

       Cot[x] = 1/x1/4 1/7-1/11 ...(-1)^(3k 1)/(3k 1) ....也是可以计算出来的，结果留给你们算

第二篇：2022考研数学：数列极限方法总结归纳

       为学生引路，为学员服务

       2022考研数学：数列极限方法总结归纳

       极限是考研数学每年必考的内容,在客观题和主观题中都有可能会涉及到平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大。极限的计算是核心考点，考题所占比重最大。熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键。下面凯程考研就分享一下数列极限方法，大家注意学习。

       极限无外乎出这三个题型：求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数。熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键，极限的运算法则必须遵从，两个极限都存在才可以进行极限的运算，如果有一个不存在就无法进行运算。以下我们就极限的内容简单总结下：

       极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。

       四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效;夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，则凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。

       为学生引路，为学员服务

       页 共 2 页

       为学生引路，为学员服务

       页 共 3 页

第三篇：2022考研数学：16种极限求解的方法总结

       凯程考研辅导班，中国最权威的考研辅导机构

       2022考研数学：16种极限求解的方法总

       结

       学好高数，极限基础必须要打好，极限求解也是必要解决的问题，下面总结了16种可用的方法，大家学习学习，可灵活应用。

       1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1 x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。

       2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死！)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成

第四篇：极限满分方法

       的题目是以直接求极限的形式出现，例如2022年数学一的15题：求极限也有的题目是间接涉及到求极限问题，例如2022年数学一的1题是要求曲线渐近线的条数，求曲线渐进线最终还是通过求函数极限来达到的。这两类题目在历年考研数学试题中出现的频率都很高，求极限的方法一定要熟记于心、熟练掌握，不可轻视！

       ??? 求极限的方法不只限于两三种，概括来讲共分为下面八大类：

       ??? 1.定义法。此法一般用于极限的证明题，计算题很少用到，但仍应熟练掌握，不重视基础知识、基本概念的掌握对整个复习过程都是不利的。

       ??? 2.洛必达法则。此法适用于解型等不定式极限，但要注意适用条件（不只是使用洛必达法则要注意这点，数学本身是逻辑性非常强的学科，任何一个公式、任何一条定理的成立都是有使其成立的前提条件的，不能想当然的随便乱用），如出现的极限是形如，则都可以转化为型来求解。

       ??? 3.对数法。此法适用于指数函数的极限形式，指数越是复杂的函数，越能体现对数法在求极限中的简便性，计算到最后要注意代回以e为底，不能功亏一篑。

       ??? 4.定积分法。此法适用于待求极限的函数为或者可转化为无穷项的和与一个分数单位之积，且这无穷项为等差数列，公差即为那个分数单位。例如《2022无师自通考研数学复习大全》第26页末尾的一道题：极限

       ?

       ??? 5.泰勒展开法。待求极限函数为分式，且用其他方法都不容易简化时使用此法会有意外收获。当然这要求考生能熟记一些常见初等函数的泰勒展开式且能快速判断题目是否适合用泰勒展开法，坚持平时多记多练，这都不是难事。

       ??? 6.等价替换法。此法能快速简化待求极限函数的形式，也需要考生熟记一些常用的等价关系，才能保证考试时快速准确地解题。注意等价替换只能替换乘除关系的式子，加减关系的不可替换。

       ??? 7.放缩法（夹逼定理）。此法较简单，就是对待求极限的函数进行一定的扩大和缩小，使扩大和缩小后的函数极限是易求的，例如《2022考研数学接力题典1800》第4页的56题：求极限，该题即是用放缩法求解，具体解法可参见书内答案。

       ??? 8.重要极限法。高数中的两个重要极限：及其变形要熟记并学会应用。

       ??? 掌握了以上八大方法还是不够的，要学会融会贯通，因为考研题的综合性很强，不是一道题只用一种方法就能够解出来的，往往是同时用到两三种甚至更多才能顺利解答。这就需要考生平时多想多练，做到熟能生巧，才能在最后的考试决战中胜人一筹。

第五篇：经典求极限方法

       求极限的各种方法

       1．约去零因子求极限

       x41例1：求极限lim x1x1

       【说明】x1表明x与1无限接近，但x1，所以x1这一零因子可以约去。【解】lim(x1)(x1)(x21)

       x1x1limx1(x1)(x21)6=4

       2．分子分母同除求极限

       例2：求极限limx3x2

       x3x31 【说明】

       型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。x3

       【解】limx211

       x1

       x3x31limx3

       x33

       【注】(1)一般分子分母同除x的最高次方；

       

       axnan10mn

       (2)limnn1xa0

       xbmm1mn

       mxbm1xb0an

       bmn

       n

       3．分子(母)有理化求极限

       例3：求极限xlim(x23x21)

       【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】lim(x22(x23x21)(x23x21)

       x3x1)xlimx23x21 xlim2x23x210

       例4：求极限limtanxsinx

       x0x3 【解】limtanxsinxtanxsin

       x0x3limxx0x3tanxsinx

       lim

       x0

       tanxsinx1tanxsinx1

       lim 33x0x024xxtanxsinx

       lim

       【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解．．．．．．．．．．．题的关键

       4．应用两个重要极限求极限

       sinx11

       1和lim(1)xlim(1)nlim(1x)xe，第两个重要极限是lim

       x0xnx0xxn

       一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。

       x1

       例5：求极限lim

       xx1

       【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑数部分。

       x1122122x12【解】limlim1lim1x11e xx1xxx1x1

       x

       x

       x，最后凑指X

       1x2a

       例6：(1)lim12；(2)已知lim8，求a。

       xx

       xxa5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】

       (1)常见等价无穷小有：

       1x)~e1, 当x0 时,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(12b

       x,1ax1~abx； 2

       (2)等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式； ．．

       1cosx~

       x

       xx

       (3)此方法在各种求极限的方法中应作为首选。．．．．．

       xln(1x)

       

       x01cosxxln(1x)xx

       【解】limlim2.x01cosxx02

       x2

       sinxx

       例8：求极限lim

       x0tan3x

       例7：求极限lim

       1xsinxxsinxxcosx11limlimlim【解】lim 322x0tan3xx0x0x06x3x3x

       6．用罗必塔法则求极限

       例9：求极限limlncos2xln(1sin2x)

       x0x2

       【说明】

       

       或0

       0型的极限,可通过罗必塔法则来求。2sin2x【解】limlncos2xln(1sin2x)sin2x

       2x0x2limx02x

       lim

       sin2xx02x2cos2x1

       1sin2x

       3 【注】许多变动上显的积分表示的极限，常用罗必塔法则求解

       x

       例10：设函数f(x)连续，且f(0)0，求极限lim

       0

       (xt)f(t)dt

       x0

       xx.f(xt)dt

       u【解】 由于

       

       x

       x

       f(xt)dtx

       t

       x

       f(u)(du)0

       f(u)du,于是

       x

       x

       x

       lim

       

       (xt)f(t)dt

       lim

       x0

       f(t)dt0

       tf(t)dt

       x0

       xxx

       f(xt)dt

       x0

       x0f(u)du

       x

       xf(x)xf(x)

       =lim

       0

       f(t)dtx

       f(t)dt

       x0

       

       x

       =lim)duxf(x)

       x0

       

       x

       f(u0

       f(u)duxf(x)

       

       x

       f(t)dt

       =lim

       f(0)x0

       x

       =

       

       f(0)f(0)1

       .f(u)du

       xf(x)

       7．用对数恒等式求limf(x)g(x)极限

       2例11：极限limx

       x0

       [1ln(1x)]

       x)]

       【解】limx

       x

       ln[1ln(1x)]lim

       2ln[1ln(10

       x

       x0

       [1ln(1x)]=limx0

       e

       =e

       xe

       xlim

       2ln(1x)

       0

       x

       e2.【注】对于1型未定式limf(x)g(x)的极限，也可用公式

       limf(x)g(x)(1)=elim(f(x)1)g(x)

       因为

       limf(x)g(x)elimg(x)ln(f(x))elimg(x)ln(1f(x)1)elim(f(x)1)g(x)

       例12：求极限lim1

       2cosxxx0x

       31.

       xln2cosx

       2cosx

       

       3

       【解1】 原式lim

       e

       1lnx0

       x3

       lim3x0x1

       limln（2cosx）ln3sinx）

       x0x2limx02x112lim

       x02cosxsinxx1

       xlne

       2cosx

       2cosx

       3

       【解2】 原式lim

       1ln

       x0

       x3

       lim3x0x2

       ln（1

       cosx1）

       lim

       cosx0

       x

       2limx11x03x26 8．利用Taylor公式求极限

       13求极限 limaxax例2

       x0x

       2,(a0).【解】axe

       xlna

       xlnax212

       ln2

       a(x2),a

       x

       1xlnax2ln2

       a(x22);

       axax2x2ln2a(x2).limaxax2x0x2limx2ln2a(x2)x0x

       2ln2

       a.例14求极限lim11x0x(x

       cotx).【解】limx0

       111sinxxcosx

       (cotx)lim x0xxxxsinx

       x3x23

       x(x)x[1(x2)]lim 3x0x113

       )x(x3)

       lim3x0x3.（9．数列极限转化成函数极限求解

       1

       例15：极限limnsin

       nn

       【说明】这是1形式的的数列极限，由于数列极限不能使用罗必塔法则，若直接求有一定难度，若转化成函数极限，可通过7提供的方法结合罗必塔法则求解。

       1

       【解】考虑辅助极限limxsin

       xx

       x2

       n2

       lime

       x

       1

       x2xsin1

       x

       lime

       y0

       11

       siny12yy

       e

       

       1

       所以，limnsin

       nn

       n2

       e

       

       10．n项和数列极限问题

       n项和数列极限问题极限问题有两种处理方法(1)用定积分的定义把极限转化为定积分来计算;(2)利用两边夹法则求极限.111

       例16：极限lim22nn222n2n2n1

       

        

       【说明】用定积分的定义把极限转化为定积分计算,是把f(x)看成［0,1］定积分。

       11

       limfnnn2

       fn1n

       ff(x)dx 0n

       1111

       【解】原式＝lim

       222nn12n

       11

       nnn

        

       

       121

       dxln

       2221x

       

        

       111

       例17：极限lim2nn22n2nn1

       112n

       【说明】(1)该题遇上一题类似，但是不能凑成limfffnnnnn的形式，因而用两边夹法则求解；

       (2)两边夹法则需要放大不等式，常用的方法是都换成最大的或最小的。

       111

       【解】lim2nn22n2nn1

       因为

       

        

       nnn

       n

       1n1

       

       1n2nn1

       

       1nn

       

       nn1

       又lim

       n

       nn

       lim

       n

       1

       

       ＝１ 

       所以lim

       111

       2nn22n2nn1

       12．单调有界数列的极限问题

       例18：设数列xn满足0x1,xn1sinxn(n1,2,)

       （Ⅰ）证明limxn存在，并求该极限；

       n

       xn1xn（Ⅱ）计算lim.n

       xn

       【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在.【详解】（Ⅰ）因为0x1，则0x2sinx11.可推得 0xn1sinxn1,n1,2,，则数列xn有界.于是

       xn1sinxn

       sinxx）1，（因当x0时，则有xn1xn，可见数列xn单

       xnxn

       n

       调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限limxn存在.imxn0.设limxnl，在xn1s得 lsinl，解得l0，即linxn两边令n，n

       n

       x

       （Ⅱ）因 limn1

       n

       xn

       2xn

       sinxnxn2

       ，由（Ⅰ）知该极限为1型，limn

       xn

       11sinx1xx

       sinxx2

       1

       limsinxx0x

       xlime

       x0

       lime

       x0

       x

       e(使用了罗必塔法则)

       

       x

       故 limn1

       n

       xn

       xn

       1sinxnxnlime6.n

       xn