等比数列的性质总结

第一篇：等比数列的性质总结

       等比数列性质

       1.等比数列的定义：2.通项公式： ana1q

       n

       1anan1

       qq0n2,且nN

       *

       ，q称为公比

       

       a1q

       qAB

       nn

       a1q0,AB0，首项：a1；公比：q

       推广：anamqnm，从而得qnm

       3.等比中项

       anam

       或q

       n（1）如果a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A2

       ab或A

       注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列an是等比数列an2an1an1

       4.等比数列的前n项和Sn公式：(1)当q1时，Snna1

       a11q1q

       a11q

       

       n

       (2)当q1时，Sn

       

       a1

       a1anq1q

       n

       1q

       qAABA'BA'（A,B,A',B'为常数）

       nn

       5.等比数列的判定方法

       （1）用定义：对任意的n,都有an1qan或

       an1an

       q(q为常数，an0){an}为等比数列

       2（2）等比中项：anan1an1（an1an10）{an}为等比数列

       （3）通项公式：anAB

       n

       AB0

       n

       {an}为等比数列

       n

       （4）前n项和公式：SnAAB或SnA'BA'A,B,A',B'为常数{an}为等比数列

       6.等比数列的证明方法 依据定义：若

       anan1

       qq0n2,且nN

       *

       或a

       n1

       qan{an}为等比数列

       7.注意

       （1）等比数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、q、n、an及Sn，其中a1、q称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

       n1

       （2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；ana1q

       如奇数个数成等差，可设为…，aq

       2,aq

       ； ,a,aq,aq…（公比为q，中间项用a表示）

       8.等比数列的性质(1)当q1时

       ①等比数列通项公式ana1qn1

       a11q1q

       n

       a1q

       qAB

       nn

       AB

       a11q

       0是关于n的带有系数的类指数函数，底数为公比q

       ②前n项和Sn

       

       

       a1a1q1q

       n

       a11q

       qAABA'BA'，系数和常数项是互为相反

       nnn

       数的类指数函数，底数为公比q

       (2)对任何m,nN*,在等比数列{an}中,有anamqnm,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

       (3)若m n=s t(m, n, s, tN*),则anamasat.特别的,当n m=2k时,得anamak2 注：a1ana2an1a3an2(4)列{an},{bn}为等比数列,则数列{列.(5)数列{an}为等比数列,每隔k(kN*)项取出一项(am,amk,am2k,am3k,)仍为等比数列(6)如果{an}是各项均为正数的等比数列,则数列{logaan}是等差数列(7)若{an}为等比数列,则数列Sn，S2nSn，S3nS2n,，成等比数列

       (8)若{an}为等比数列,则数列a1a2an,an1an2a2n,a2n1a2n2a3n成等比数列(9)①当q1时，②当0

       k

       anbn

       (k为非零常数)均为等比数

       {a10，则{an}为递减数列,{a10，则{an}为递增数列

       n

       n

       a0，则{a}为递增数列a0，则{a}为递减数列

       ③当q=1时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;④当q<0时,该数列为摆动数列.(10)在等比数列{an}中, 当项数为2n(nN*)时,S奇S偶

       1q,.(11)若{an}是公比为q的等比数列,则SnmSnqnSm

第二篇：等比数列性质（本站推荐）

       等比数列

       1，在等比数列an中，已知a3a636,a4a718,an

       12,求n。

       2，在1与100之间插入n个正数，使这n个数成等比数列，求插入的n个数的积。3，在等比数列an中，若a22,a6162,求a10。

       4，在等比数列an中，a3a4a53,a6a7a824,求a9a10a11。

       5，一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，求此等比数列的项数。

       6，在等比数列an中，a9a10aa0,a19a20b,求a99a100。

       7，已知由正数组成的等比数列an中，公比q2，a1a2a3a30245,求

       a1a4a7a28

       8，在等比数列an中，若a1a2a3168,a2a542,求a5与a7的等比中项。9，在等比数列an中，若a1a2a37,a1a2a38,求an 10，等比数列an的首项为a11024,公比q则当n为何值时，fn有最大值。,12，设fn表示这个数列的前n项的积，

第三篇：(经典整理)等差、等比数列的性质

       等差、等比数列的性质

       一：考试要求

       1、理解数列的概念、2、了解数列通项公式的意义

       3、了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项 二:知识归纳

       （一）主要知识：

       有关等差、等比数列的结论 1．等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2mSm,S3mS2m,仍为等差数列．

       2．等差数列{an}中，若mnpq，则amanapaq 3．等比数列{an}中，若mnpq，则amanapaq

       4．等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm,S2mSm,S3mS2m,仍为等比数列．

       5．两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{anbn}仍为等差数列．

       an1

       6．两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{anbn}、、仍为等比数

       bnbn

       列．

       （二）主要方法：

       1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于a1和d(q)的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

       2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前n项和公式的内在联系是解题的关键．

       三：例题诠释，举一反三

       例题1(2022佛山)在等差数列{an}中，a1＋2a8＋a15＝96，则2a9－a10＝()A．24B．22C．20D．－8

       变式1：(2022广雅)已知数列{an}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为()A

       3变式2：（2022重庆理11）在等差数列{an}中，a3a737，则a2a4a6a8

       ________

       B3

       A3

       3A3

       例题2 等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为()

       A．130B．170C．210D．260

       变式1:（2022高考创新）等差数列{an}的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn,则数列{的前11项和为（）

       A.-45B.-50C.-55D.-66 变式2：（2022高考创新）等差数列{an}中有两项am和ak满足am=

       Snn

       }

       1k,ak=

       1m,则该数列前mk

       项之和是.例题3(1)已知等比数列{an}，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，则an＝________.(2)已知数列{an}是等比数列，且Sm＝10，S2m＝30，则S3m＝________(m∈N*)．(3)在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝56，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝_______.变式1：(2022佛山)在等比数列{an}中，若a3·a5·a7·a9·a11＝32，则

       a9

       a1

       1的值为()

       A．4B．2C．－2D．－

       4变式2（2022湛江）等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2an－1＝128，前n项的和Sn＝126，求n和公比q.变式3（2022广州调研）等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=6，S4=30，则S6.1

       例题4 已知数列{an}，an∈N*，Sn＝(an＋2)2.8(1)求证：{an}是等差数列；

       (2)若bn＝n－30，求数列{bn}的前n项和的最小值．

       变式1已知数列{an}中，a1

       3

       5，an

       2

       1an1

       (n2,nN

       )，数列{bn}满足bn

       

       1an1

       (nN

       )

       （1）求证：数列{bn}是等差数列；

       （2）求数列{an}中的最大值和最小值，并说明理由

       变式2设等差数列an的前n项和为sn，已知a324,s110，求： ①数列an的通项公式②当n为何值时，sn最大，最大值为多少？

       变式3(2022·汕头模拟)已知数列{an}中，a1＝，数列an＝2－，(n≥2，n∈N*)，数列an-1{bn}满足bn＝

       (n∈N*)．an-1

       (1)求证数列{bn}是等差数列；

       (2)求数列{an}中的最大项与最小项，并说明理由．

       32a例题5(2022·陕西)(文)已知数列{an}的首项a1＝，an 1=n∈N*an 11

       (1)求证数列－1}是等比数列；

       ann

       (2)求数列{前n项的和

       an

       变式1 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)证明数列{an－n}是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn；(3)求证对任意n∈N*都有Sn＋1≤4Sn

       变式2设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，且cn＝an＋bn，证明数列{cn}不是等比数列．

       变式3.在数列an中，a11,an12an2（1）设bn

       n

       an

       2n1,证明bn是等差数列;（2）

       求数列an的前n项和Sn。

       当堂讲练： 1．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390,则这个数列有项；

       （2）已知数列{an}是等比数列,且an>0,nN,a3a52a4a6a5a781，则

       a4a6

       *

       （3）等差数列前m项和是30，前2m项和是100，则它的前3m项和是．

       2．若数列{an}成等差数列，且Smn,Snm(mn)，求Snm．

       3．等差数列{an}中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为77，偶数项之和为66，a11，求其项数和中间项.4．若数列{an}（nN*）是等差数列，则有数列bn

       a1a2an

       n

       （nN*）也为

       等差数列，类比上述性质，相应地：若数列{cn}是等比数列，且cn>0（nN*），则有

       d

       n

       nN*）也是等比数列．

       5．设Sn和Tn分别为两个等差数列的前n项和，若对任意nN，都有则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比是．说明：

       anbn

       S2n1T2n1

       *

       SnTn

       

       7n14n27，．

       四：课后练习

       1基础部分

       1已知各项均为正数的等差数列an中，a1a1136，则a6的最小值为（）

       A、4B、5C、6D、7

       2.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）

       A.3B.4C.5D.23.等差数列{an}中，a13a8a15120,则2a9a10

       （）

       A．24 B．22 C．20 D．-8

       4{an}是等差数列，a1>0，a2022＋a2022>0，a2022·a2022<0，使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是（）A．4019B．4018C．4017D．4016

       5.在等差数列{an}中,前n项和为Sn,若a75,S721,那么S10等于（）

       A．55 B．40 C．35 D．70

       6.(2022山东卷文)在等差数列{an}中,a37,a5a26,则a6____________.7设Sn是等差数列an的前n项和，已知S636,Sn324,Sn6144,则n=__________.S2022

       S2022200

       52

       aSa20228在等差数列n中，1，其前n项的和为n．若2022

       S2022_________，则

       2提高部分

       1、（2022惠州 第三次调研理 4）等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2a8a1130，那

       么S13值的是（）A．130

       B．6

       5C．70D．以上都不对

       2．（2022揭阳市一模 理4）数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1,a3,a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为

       A

       B．4C．2D．

       3、(2022安徽卷文 2）已知{an}为等差数列，于A.-1

       12，则

       B.1C.3D.7

       等

       4.（2022江西卷文）公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比中项, S832,则S10等于

       A.18B.24C.60D.90

       5．（2022佛山一检）在等差数列an中，首项a10,公差d0，若

       aka1a2a3a7，则k()

       A．22 B．23 C．24D．25

       6.（2022全国卷1文）（4）已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则

       aaa=

       (A)

       7.（2022湖北文）7.已知等比数列{am}中，各项都是正数，且a1，则

       a9a10a7

       a8

       A.1

       a3,2a2成等差数列，B.1

       C.3

       D3

       8（2022福建理）3．设等差数列an的前n项和为Sn,若a111,a4a66,则当Sn取最小值时,n等于

       A．6

       B．7

       C．8

       D．9

       9.（广东省佛山市顺德区2022年4月普通高中毕业班质量检测试题理科）在等比数列{an}中，若a1a2a32，a2a3a416, 则公比q10．（2022年3月广东省广州市高三一模数学理科试题）在等比数列an中，a11，公比

       q2，若an前n项和Sn127，则n的值为．

       11．(2022年3月广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S981，则a2a5a8．

       12．若Sn和Tn分别表示数列{an}和{bn}的前n项和，对任意自然数n，有an

       2n32

       *，（1）求数列{bn}的通项公式；（2）设集合A{x|x2an,nN}，4Tn12Sn13n，B{y|y4bn,nN}．若等差数列{cn}任一项cnAB,c1是AB中的最大数，且

       *

       265c10125，求{cn}的通项公式．

第四篇：等差、等比数列性质类比

       等差、等比数列知识点

       一、等差数列：

       1.等差数列的证明方法：1.定义法：2．等差中项：对于数列则{an}为等差数列。2.等差数列的通项公式：

       an，若2an1anan

       2ana1(n1)d------该公式整理后是关于n的一次函数

       Sn

       n(a1an)n(n1)

       2Snna1dSAnBn n223.等差数列的前n项和 1．2.3.abA

       2或2Aab 4.等差中项: 如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即：

       5.等差数列的性质:（1）等差数列任意两项间的关系：如果

       an是等差数列的第n项，am是等差

       aam(nm)d

       数列的第m项，且mn，公差为d，则有n

       （2）.对于等差数列

       an，若m n=p q，则am an=ap aq。

       *SSSSk，S3kS2kakNnn（3）若数列是等差数列，是其前n项的和，那么k，2k

       S3k

       a1a2a3akak1a2ka2k1a3k

       成等差数列。如下图所示：

       （4）．设数列

       SkS2kSkS3kS2k

       an是等差数列，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和，S偶S奇

       S奇nn1dSSa偶中，S偶n.2，○2当n为奇数时，则奇

       则有如下性质： ○1当n为偶数时，二、等比数列：

       1.等比数列的判定方法:①定义法若数列。

       an

       1q(q0)an

       2an是等比aaann2n1，则数列②等比中项：若

       n1

       aaaann12.等比数列的通项公式:如果等比数列的首项是1，公比是，则等比数列的通项为。

       3.等比数列的前n项和:○1

       Sn

       a1(1qn)

       (q1)

       1q

       ○

       2Sn

       a1anq

       (q1)

       1q

       ○3当

       q1时，Snna1 ab。

       4.等比中项:如果使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。那么G5.等比数列的性质:

       （1）．等比数列任意两项间的关系：如果

       an是等比数列的第n项，am是等差数列的第m项，且mn，qanamqnm

       公比为，则有

       （2）对于等比数列an，若nmuv，则anamauav也就是：a1ana2an1a3an2。

       （3）．若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数

       S3ka1a2a3akak1a2ka2k1a3k

       列。如下图所示：SkS2kSkS3kS2k

       基础练习

       一、选择题：

       1．已知｛an｝为等差数列，a2 a8=12,则a5等于（）

       (A)4(B)5(C)6(D)7

       2．设｛an｝是公比为正数的等比数列，若a11,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为（）

       A.63B.64C.127D.128

       3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9（）

       A．63B．45C．36D．274、设等比数列{an}的公比q2，前n项和为SS

       4n，则a（）

       A.2B.4 C.15D.17

       25.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过3个小时,这种细菌由1个可繁殖成-（A.511个B.512个C.1023个D.1024个

       6．已知等差数列｛an｝中，a2=6, a5=15.若bn=a2n,则数列｛bn｝的前5项和等于（）

       (A)30（B）45(C)90(D)186

       7．已知数列an*

       对任意的p，qN满足apqapaq，且a26，那么a10等于（）

       A．165B．33C．30D．2

       18．设{an}是等差数列，若a23,a713，则数列{an}前8项和为（）

       Ａ．128Ｂ．80Ｃ．64Ｄ．56

       9．设｛an｝是公比为正数的等比数列，若a1＝1,a5=16,则数列｛an｝前7项的和为（）

       A.63B.64C.127D.128

       10．记等差数列an的前n项和为Sn，若S24，S420，则该数列的公差d=（）

       A．7B.6C.3D.2

       11．记等差数列an的前n项和为Sn，若a11

       2，S420，则S6()

       A．16B.24C.36D.48

       a2,aa1

       1n1nln

       12．在数列an中，1n，则an＝（）

       2)

       A．2lnnB．

       二、填空题：

       1．等差数列{an}中，a5=24，S5=70，则S10=___

       2．等比数列{an}的前n项和为Sn=32n1lnnC．2nlnnD．1nlnn t，则t=________

       3．等比数列{an}中，an>0，a2·a4 2a3·a5 a4·a6=25，则a3 a5=_______

       4．设{an}中，an=20－4n，则这个数列前__或____项和最大。

       5．已知：两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为An和Bn，且An3n1 n

       Bn2n

       3求：（1）a15b15=_________（2）an=___________ bn

       6.等差数列{an}的公差d1，且前100项和S100=100,则a1 a3 a5 …a99=__

       27．在[1000，2000]内能被3整除且被4除余1的整数个数是________________

       8．在数列{an}在中，an4n52*2，a1a2ananbn，nN,其中a,b为常数，则ab

       52an4n{a}aaaanbn，nN*,其中a,b为常数，则2n2，19．在数列n在中，linanbnanbn的值是_____________

       10．已知{an}为等差数列，a3 a8 = 22，a6 = 7，则a5 = ____

       三、解答题：

       1．已知数列

       n项和

       11111S与SSS与S43453a设Snn345342.是等差数列的前n项和，已知的等比中项为，的等差中项为1，{an}是一个等差数列，且a21，a55。（1）求{an}的通项an；（2）求{an}前Sn的最大值。

       求数列

       an的通项．

       3.等差数列{an}的前n

       项和为Sn，a11S39求数列{an}的通项an与前n项和Sn；

       4.等差数列an中，a410且a3，a6，a10成等比数列，求数列an前20项的和S20．

第五篇：讲等比数列性质学案doc

       2.4等比数列性质

       学习目标：

       1、理解等比数列的主要性质, 能推导证明有关性质；

       2、能运用有关性质进行计算和证明.【温故知新】

       1．已知数列{an}的前4项为2,6,18,54，则它的一个通项公式为.2．若数列{an}的通项公式为an－1n＝2)，则其前4项依次为，第10项为.3．若{an}满足a1＝5，an＋1＝－2an，则该数列的前4项依次为，a2a＝，a3a＝，a

       4＝，其通项公式为.12a

       3A【使用说明】

       通过不完全归纳，类比等方法得出结论，再利用概念，已有公式证明结论，由感性认识到理性认识，完成以下的内容，做好疑难标记。【自学园地】

       类比等差数列性质的学习，自学等比数列的常用性质：

       1、等比数列{an}，推广式(项与项间关系式)：思路：

       2、若b是a和c的等比中项，则b=，推广式：

       思路：（参考教科书53页练习4）

       3、等比数列{an}中,当m n=p q（m、n，p，q∈N ）时，有aman=apaq，成立吗？ 思路：

       4、等比数列{an}中,当m，n，p，q…（m、n，p，q…∈N ）成等差数列时，am，an，ap，aq…

       成等比数列。（即：下标成等差，对应项成等比）思路：（参考书上53页练习3）

       5.先判断是否为等比数列，再计算公比。(1)若{an}是公比为q的等比数列，则

       ①{c·an}(c是非零常数)是公比为的等比数列； ②{|an|}是公比为的等比数列；

       ③{am

       n}(m是整数常数)是公比为的等比数列；

       ④｛1a｝是等比数列吗？

       n

       ⑤｛lnan｝是等比数列吗？

       ⑥每隔k项抽取一项组成的新数列是公比为的等比数列。

       (2)若{an}、{bn}分别是公比为q1、q2，项数相同的等比数列，则数列{an·bn}是公比为的等比数列．an

       

       b

       是等比数列吗？

       n

       

       B【使用说明】

       1、将自学中遇到的问题组内交流，标记好疑难点；

       2、组内解决不了的问题直接提出来作为全班展示。例1：（等比数列的判定和证明）

       数列{an}中，an73n，求证：数列{an}是等比数列。

       【题后感悟】证明和判断数列是等比数列的常用方法：

       【变式训练】

       1.（1）｛an

       ｝是各项均为正数的等比数列，是等比数列吗？为什么?

       （2）已知aan,bn是项数相同的等比数列，n是等比数列吗？

       bn

       例2:（等比数列的通项公式）

       已知等比数列{an}，若a1a2a37,a1a2a38,求an。

       【题后感悟】

       【变式训练】

       2.在等比数列中：(1)若a1a2a321,a1a2a3216,求an；

       (2)若a3a518,a4a872,求公比q.例3:已知等比数列{an}中，a2a6a10＝1，求a3·a9.【题后感悟】

       【变式训练】

       3.(1)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5·a6＝9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝

       ()

       (2){an}为等比数列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，求a1

       1例4：应用问题

       某工厂2022年1月的生产总值为a万元，计划从2022年2月起，每年生产总值比上个月增长m ﹪，那么到2022年8月底该厂的生产总值为多少万元？

       【题后感悟】

       【变式训练】

       4、完成书上53页2、5【课时小结】

       【课堂检测】

       1、在等比数列{an}中，已知a2= 5，a4 = 10，则公比q的值为________

       2、2与8的等比中项为G，则G的值为_______

       3、在等比数列{an}中，an＞0, a2a42a3a5a4a636, 那么a3a5 =_________

       4、已知数列1，a2,a3,4是等比数列，则a2a3=_________

       5、在等比数列中a76,a109，那么a4=_________.1、已知{an}是等比数列a2=2，a6=18，则公比 q=（）A、11

       2B、-

       2C、或-

       2D、1

       42．若2a，b,2c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点的个数是(A．0B． 1C．2D．0或

       23、已知等差数列的公差不为0，且第2，3，6项构成等比数列，则公比为（）A、1B、2C、3D、44、已知等差数列a，b，c，三项之和为12，且a，b，c 2成等比数列，则a＝（A、2或8

       B、2C、8

       D、-2或-85、在等比数列{an}中，a3a4a5=3，a6a7a8=24，则a9a10a11的值为（）A、48

       B、7

       2C、14

       4D、1926、在等比数列an中，a3 a10=a（a≠0），a19 a20=b，则a99 a100等于（）9

       A、b9

       a

       8B、ba

       C、b10

       a

       9D、ba)）