第一篇：哈密尔顿
哈密尔顿—凯莱定理：Ａ是 n 阶方阵，Ｆ A（ｘ）是Ａ的特征多项式，则Ｆ A（Ａ）= ０。
扰动方法的证明：
１）如果Ａ对角矩阵，直接验证。
２）如果Ａ是特征值互相不同的复矩阵，利用相似变换，归结为１）。
３）对于一般复矩阵Ａ，考虑另一个矩阵Ｂ，使得Ａ＋ｋＢ的特征值互相不同，利用２），有Ａ＋ｋＢ的特征多项式在矩阵Ａ＋ｋＢ的值是０。令 ｋ 趋于０ 即可。
注１：Ａ＋ｋＢ的特征多项式各个系数都是复数变量ｋ的多项式。当然关于ｋ连续，可以取极限，极限是Ａ的特征多项式。
注２：关于Ｂ的存在性，可以利用：
每一个复方阵相似于一个上三角矩阵，对角元是所有特征值。
这个事实来构造Ｂ。比如可以选Ｂ也是上三角矩阵，而且在Ａ的相同对角元的位置处令Ｂ的元素互相不同就可以使得Ａ＋ｋＢ的特征值互相不同了。
二。哈密顿－凯莱定理的应用
应用主要有这几个方面
1.计算矩阵多项式的值；
2.计算方阵的高次幂；
3.计算矩阵的逆；
4.求矩阵的最小多项式；
5.证明有关矩阵多项式为0的问题。
具体见附件：
..高等代数专题学习资料---凯莱-哈密顿定理的应用
